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2013年7月17日 (水)

数と科学のストーリー(桜井進)、素数の数とエラトステネスの篩、クレジット暗号番号への応用、円周率πの数とアルキメデスの円周率の求め方、惑星探査機「はやぶさ」にプログラムされた円周率は16桁、とは(2013.7.17)

 最近、サイエンスナビゲーター、桜井進(1964~)さんによる、素数の数と円周率πの数の探査に関する興味ある記事が、数と科学のストーリーとして、朝日新聞に紹介されていました。そこで、その記事について、改めて勉強させていただき、説明を加えました。

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桜井進(ウィキペディア): http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%9C%E4%BA%95%E9%80%B2

○ 素数の数の探査

 素数とは、1およびその数自身のほかに約数を持たない正の整数のことです。普通は、1を除いた、100以下の素数は、2、3、5、7、11、13、15、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97など、計25個あります。 

  紀元前200年頃、ギリシャの数学者、エラトステネス( 紀元前275年~ 紀元前194年)が、「エラトステネスの篩(ふるい)」を考案して素数を発見し、素数は無限にあることを証明しました。

 エラトステネスの篩(ウィキペディア): http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%A9%E3%83%88%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%AF%A9

(解説) 自然数を1、2、3、4、5、・・・と並べ、1を消し、素数2を残してその倍数4,6,8、10・・・を消し、次の素数3を残してその倍数9,12、15・・・を消します。こうして素数pの倍数を消したとき、pの次の素数がqなら、qの2乗より小さい数で残ったものはすべて素数となります。

 2013年(平成25年)1月25日、約1700万桁というその時点で最大の素数がアメリカで確認されたそうですが、素数が大きくなるにつれ、素数の出現はまばらになる性質があり、巨大な数ほど探査は困難になるという。

 現在、RSA(桁数が大きい素数を掛け合わせてつくった合成素数)暗号が、ネットショッピングにおけるクレジット暗号番号として、送信に利用されています。

○ 円周率πの数の探査

 円周率πとは、円周の長さとその直径との比、または円の面積と半径の平方との比のことです。近似値3.14159で、ギリシャ文字π(ぱい)で表します。円周の長さとその直径との比を数で表そうとすると、小数点以下は無限に数が続くことになります。

○ アルキメデスの円周率の求め方(pdf、数泉編集部):http://www.chikyo.co.jp/maths/pdf/free02.pdf. 

(解説) 2000年前、古代ギリシャのアルキメデスは、直径1の円周の長さをうまく求める、「円の内側に接する多角形の周りの長さを計算する」方法を考え出しました。すなわち、アルキメデスは、正6角形から12角形、24角形・・・・と倍々に角数を増やし、正96角形まで考え、円周率が薬3.14であることを突き止めました。

 2011年(平成23年)、日本人が円周率を小数点以下10兆桁まで計算した記録を打ち立てましたが、10兆目の数は5だったそうです。

 惑星探査機はやぶさ」にプログラムされた円周率は、「3.141592653589793」という、16桁の円周率でした。3億キロ宇宙の旅から帰還するために使う円周率の桁数を、JAXAは、3.14だけでは、15万キロも軌道に誤差が出るので、16桁にしたそうです。

 その他、指輪製作工房では3.14の3桁でしたが、砲丸工場では10桁陸上競技場の円周率は3.1416の5桁とルールブックに決められています。

(参考文献) 下中邦彦編: 小百科事典(初版)、平凡社(1973); 新村出編: 広辞苑(第四版)、岩波書店(1991); 朝日新聞: 桜井進の数と科学のストーリー、素数・円周率・・・数を探査しよう、2013年(平成25年)4月14日(日)朝刊; 朝日新聞: 桜井進の数と科学のストーリー、円周率 アルキメデスはこう考えた、2013年(平成25年)4月28日(日)朝刊.

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